My data lab

PDE 를 풀기위한 여러 방법중 위의 방법들에 대해서 공부를 하였다.

FDM : 1차 2치미분을 태일러 전개를 통해 discrete 한 Q 값의 차이로 근사를 이용한다.

1차미분= discrete 한 두 관찰된 포인트를 이용하여 미분방정식을 대체 함

특징

1. 직관적이고 쉽다.

2. 양함수적 성질로 인하여, Stepping방법을 자유롭게 변형 가능

3. 고차로 변형이 쉽다.

4. 복잡한 공간에서의 적용이 어려움

5. 불연속점에 대한 불완전성

FVM : volume 을 미리 만들어 놓고 conversation law 를 이용하여

i 번째 grid volume 의 Q_i(t+1) 값을 주변 Flux 의 변화량 으로 나타낼 수 있다.

이 때, Flux 는 다시 Q_i-1, , Q_i , Q_i+1 등으로 나타낼 수 있으므로

이때 Flux의 정의에 따라서 차수와 안정성(stability) 등이 결정 된다.

특징:

1. FDM 과는 다르게 복잡한공간 (complex Geometry) 에서도 flux 를 정의 하여 사용가능하다.

2. 이때 만들어진 원래의 방정식은 높은 차수(high order accuracy)를 갖을수 없는 단점을 가지고있다.(~2차 정도?)

FEM : weak Sense 로접근한다.

Test function 을 가지고 접근하여 그것을 적분했을 때 원래 식에 일치하는 것인지 확인하는 매커니즘을 갖는다.

u 자체를 미리정해놓은 basis(pi1, pi2 .) 들의 Weighted 합이라고 간주하고

pi1, pi2 는 한편 근처의 pi 들 외에는 내적할경우 0 이되도록 설정 해 버린다.

그러면 원래 풀려던 식에 pi 를 내적하면 Tridiagonal 한 Matrix A, Ax=b를 푸는 문제 가 된다.

1. FVM 과는 달리, FEM 는 basis function 자체를 고차로 잡아 버릴 수 있기 떄문에 높은 차수를 갖을 수 있다.

2. Matrix 자체를 연산하기 때문에 Implict 한 Method 이기 때문에 stability 등에 불완전성을 갖는다.