PDE 를 풀기위한 여러 방법중 위의 방법들에 대해서 공부를 하였다.
FDM : 1차 2치미분을 태일러 전개를 통해 discrete 한 Q 값의 차이로 근사를 이용한다.
1차미분= discrete 한 두 관찰된 포인트를 이용하여 미분방정식을 대체 함
특징
1. 직관적이고 쉽다.
2. 양함수적 성질로 인하여, Stepping방법을 자유롭게 변형 가능
3. 고차로 변형이 쉽다.
4. 복잡한 공간에서의 적용이 어려움
5. 불연속점에 대한 불완전성
FVM : volume 을 미리 만들어 놓고 conversation law 를 이용하여
i 번째 grid volume 의 Q_i(t+1) 값을 주변 Flux 의 변화량 으로 나타낼 수 있다.
이 때, Flux 는 다시 Q_i-1, , Q_i , Q_i+1 등으로 나타낼 수 있으므로
이때 Flux의 정의에 따라서 차수와 안정성(stability) 등이 결정 된다.
특징:
1. FDM 과는 다르게 복잡한공간 (complex Geometry) 에서도 flux 를 정의 하여 사용가능하다.
2. 이때 만들어진 원래의 방정식은 높은 차수(high order accuracy)를 갖을수 없는 단점을 가지고있다.(~2차 정도?)
FEM : weak Sense 로접근한다.
Test function 을 가지고 접근하여 그것을 적분했을 때 원래 식에 일치하는 것인지 확인하는 매커니즘을 갖는다.
u 자체를 미리정해놓은 basis(pi1, pi2 .) 들의 Weighted 합이라고 간주하고
pi1, pi2 는 한편 근처의 pi 들 외에는 내적할경우 0 이되도록 설정 해 버린다.
그러면 원래 풀려던 식에 pi 를 내적하면 Tridiagonal 한 Matrix A, Ax=b를 푸는 문제 가 된다.
1. FVM 과는 달리, FEM 는 basis function 자체를 고차로 잡아 버릴 수 있기 떄문에 높은 차수를 갖을 수 있다.
2. Matrix 자체를 연산하기 때문에 Implict 한 Method 이기 때문에 stability 등에 불완전성을 갖는다.
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